lineární odr n-k8凯发

1. lineární prostor v
   1. pokud x je z v
      1. a*x je z v
   2. pokud y je z v
      1. x y je take z v
         1. a*x b*y je z v
            1. lineární kombinace "x" a "y"
      2. b*y je z v
   3. existuje báze
      1. každý prvek z v se dá zapsat jako lineární kombinace báze
      2. počet prvků báze je dimenze v
      3. bázi si lze zvolit, není dána
   4. příklady
      1. r^2 - prostor všech uspořádaných dvojic reál. čísel
         1. {[1,0]; [0,1]}
         2. dimenze = 2
      2. r^3 prostor všech usp. trojic reál. čísel
         1. {[1,1,0]; [-1,1,0]; [0,0,1]}
         2. dimenze = 3
      3. prostor všech řešení rovnice x´´ x = 0
         1. {sin t, cos t}
         2. dimenze = 2
2. rce 1. řádu je spec. případ
   1. všechno odsud platí i pro ni
3. příklad
   1. kilovka na pružině
   2. kyvadlo
   3. lrc obvod
4. a2(t) y''(t) a1(t)y'(t) a0(t)y(t) = f(t)
   1. zadáno
      1. interval i pro t
      2. interval h pro y(t)
      3. funkce f(t)
      4. t0 z i a y0, p0,... z h
   2. hledáme
      1. všechny možné funkce y(t)
      2. jednu funkci y(t) splňující y(t0) = y0, y'(t0) = p0, ...
   3. obecné řešení
      1. obsahuje n volitelných konstant
      2. y(t) = yp(t) c1*y1(t) c2*y2(t) ... cn*yn(t)
   4. partikulární řešení
   5. řešení poč. úlohy
      1. y(t) má n spojitých derivací
      2. platí dif. rce
      3. je splněno n poč. podmínek
5. hledání řešení
   1. charakteristická rce
      1. předpokládáme y(t)=exp(l*t)
      2. vyjde rovnice pro l
      3. l_1 ... l_n
         1. l_k jednoduchý kořen
            1. y_k(t) = exp(l_k*t)
         2. l_k je "r" násobný kořen
            1. y_k = exp(l_k*t), y_{k 1} = t*exp(l_k*t), ...
      4. dosadit l_k
      5. máme n! lineárně nezávislých řešení
   2. odhad
      1. pravá strana speciální tvar
         1. f(t) = exp(a*t)*[pm(t)*cos(b*t) qm(t)*sin(b*t)]
         2. pm a qm jsou polynomy stupne maximálně "m"
         3. může být m=0
         4. kritické číslo kc=a i*b
      2. kritické číslo
         1. je řešením charakteristické rovnice
         2. není řešení charakteristické rovnice
      3. tvar řešení
         1. y_p(t) = exp(a*t)*[rm(t)*cos(b*t) sm(t)*sin(b*t)]
         2. y_p(t) = t^r*exp(a*t)*[rm(t)*cos(b*t) sm(t)*sin(b*t)]
         3. rm(t) a sm(t) polynomy stupně max. m
         4. dosadí se do rovnice a hledají se koeficienty polynomů rm(t) a sm(t)
   3. variace konstant
      1. xp(t) = c1(t)*z1(t) c2(t)*z2(t) ... cn(t)*zn(t)
      2. c1'(t)z1(t) c2'(t)z2(t) ... cn'(t)zn(t) = 0
      3. c1'(t)z1'(t) c2'(t)z2'(t) ... cn'(t)zn'(t) = 0
      4. ...
      5. c1'(t)z1'''''(t) c2'(t)z2'''''(t) ... cn'(t)zn'''''(t) = 0
         1. z1, z2, ..., zn jsou v (n-1)-té derivaci
      6. dosadím xp do rovnice
         1. vše se vyruší až na c1', c2', ..., cn'
      7. vypočítám c1´, c2´, ..., cn´
      8. integruji, a mám c1, c2, ..., cn
6. s konstantními koeficienty
7. homogenní rce
   1. každé řešení hom. rce je lin. kombinací fund. systému
8. fundamentální systém
   1. n lineárně nezávislých bázových fcí
   2. tvořen řešeními homog. rce
      1. ne všemi
      2. n - lineárně nez. (pevně zvolenými)